Análisis matemático de una situación de conflicto (V)

El Dilema del Prisionero.

Dos hombres se encuentran en prisión, cumpliendo sentencia por delitos previos, y en celdas separadas e incomunicadas.
Se sospecha que, además, los dos hombres fueron autores de otro delito sin esclarecer, aunque no hay evidencias suficientes para condenarlos.
El juez correspondiente, habla por separado con cada recluso, dándole la oportunidad de confesar y ofrecer evidencias sobre la participación del otro.
Se le promete a cada uno que, si confiesa y el otro no confiesa, el que confiese tendrá un año de reducción de su actual condena, y el otro recluso que no confiesa un incremento de su condena en 9 años.
Si ambos confiesan, cada uno tendrá 4 años más de condena y, sin ninguno confiesa, ambos tendrán un año más de condena.

La bimatriz de pagos del juego será, en virtud de lo antexpuesto, la siguiente:

$\begin{array}{c}{C}_2& \neg C_2\\ C_1& \left(-4,-4\right)& \left(1,-9\right)\\ \neg C_1& \left(-9,1\right)& \left(-1,-1\right)\end{array}$

Donde $C_i,i=1,2$ son las estrategias puras de confesar de cada jugador, y $\neg C_i,i=1,2$ las correspondientes de no confesar de cada jugador.

La estrategia pura $C_1$ domina a la $\neg C_1$, claramente, pues se satisface la siguiente relación entre (de orden producto) entre los vectores de pagos correspondientes a cada estrategia: $\left(-4,1\right)\succ \left(-9,-1\right)$.
A su vez, la estrategia pura $C_2$ domina a la $\neg C_2$, pues $\left(-4,1\right)\succ \left(-9,-1\right)$.

Luego desde el punto de vista de la racionalidad individual, ambos jugadores deberían confesar. Por lo tanto, $\left(C_1,C_2\right)$ es el único punto de equilibrio.
En efecto. Como debe verificarse

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ -9& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x 1-x\right)\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ -9& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right),\forall x\in \left[0,1\right]$

y

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}-4& -9\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}-4& -9\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 1-y\end{array}\right),\forall y\in \left[0,1\right]$

Entonces:

$\begin{array}{c}{x}^0\left(2-3y^0\right)\ge x\left(2-3y^0\right),\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\left(2-3x^0\right)\ge y\left(2-3x^0\right),\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

Y si $y^0\ne \frac{2}{3},x^0\ne \frac{2}{3}$, entonces:

$\begin{array}{c}{x}^0\ge x,\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\ge y,\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

En consecuencia: $x^0=1,y^0=1$.

Sin embargo, desde el punto de vista de la racionalidad colectiva, $\left(-1,-1\right)\succ \left(-4,-4\right)$; es decir, el vector de pagos correspondiente al par de estrategias puras $\left(\neg C_1,\neg C_2\right)$ es preferido al vector de pago del par de estrategias puras $\left(C_1,C_2\right)$. Pero como cada jugador desconoce lo que el otro va a hacer, e incluso si se lo hubiera comunicado podría engañarle, el dilema radica en si ambos jugadores han de conducirse por racionalidad individual o colectiva. Es evidente que si los dos se ponen de acuerdo (comunicándose de alguna manera) sobre no confesar, y cada uno respeta su compromiso, ambos quedan más favorecidos que aplicando el par de estrategias de equilibrio (los dos confiesan).

Por las razones indicadas, el papel de los equilibrios de Nash en la teoría de juegos de suma no nula no cooperativos, es controvertido.