Análisis matemático de una situación de conflicto (IV)

Conflicto Banda Terrorista (BT)-Gobierno(G).

Nos restringiremos ahora al caso de terrorismo político, no yihadista.
La prolongada duración de este tipo de conflictos es consecuencia de que ambos jugadores se encuentran en un par de estrategias puras de equilibrio, en las condiciones correspondientes. Analizaremos este conflicto en el restringido caso del juego bipersonal de suma no nula no cooperativo, y con el conocimiento de que la resolución óptima del mismo debe hacer uso de la teoría de los juegos de suma no nula cooperativos (y extensiones de la misma), como sucede al final de los casos prácticos, que se materializan en determinadas "concesiones menores" a la BT, producto de "negociaciones".

Los jugadores son dos: Gobierno (Jugador 1) y Banda Terrorista (Jugador 2), con los espacios de estrategias puras, respectivamente: $X_1=\left\{c,\neg c\right\},X_2=\left\{d,\neg d\right\}$, donde $c y \neg c$ son, respectivamente, las estrategias puras del Gobierno "Cede a las pretensiones de la BT" y "No cede a las pretensiones de la BT". De la misma forma, las estrategias puras de la BT son $d y \neg d$: "La BT se desarma", "La BT no se desarma".

Ordenación de los pares de estrategias puras.

Gobierno. Para el Gobierno, obviamente, la estrategia de no ceder es la dominante. Es obvio, además, que se prefiere, no cediendo, que la BT se dasarmase a que no se desarme. Considerando la cesión, es evidente que se prefiere el desarme al no desarme. Por lo tanto, los pares de estrategias puras quedan de esta forma ordenados (y definida la función de pago o utilidad reportada) para el Gobierno:

$\stackrel{3}{\left(\neg c,d\right)}\succ \stackrel{2}{\left(\neg c,\neg d\right)}\succ \stackrel{1}{\left(c,d\right)}\succ \stackrel{0}{\left(c,\neg d\right)}$

Banda Terrorista. Es evidente que la pretensión de una BT es que el Gobierno ceda, dominando esta estrategia para ella. Dentro de la misma, se prefiere, por razones obvias, el no desarme al desarme. En cuanto a la posibilidad de que no ceda el Gobierno, claramente impera el no desarme sobre el desarme. En consecuencia, la ordenación (y asignación de pagos) de los pares de estrategias puras, queda para la BT, así:

$\stackrel{3}{\left(c,\neg d\right)}\succ \stackrel{2}{\left(c,d\right)}\succ \stackrel{1}{\left(\neg c,\neg d\right)}\succ \stackrel{0}{\left(\neg c,d\right)}$

Con los datos anteriores podemos construir la bimatriz de pagos:

$G\begin{array}{c}c\\ \neg c\end{array}\stackrel{\stackrel{BT}{\begin{array}{cc}d& \neg d\end{array}}}{\left(\begin{array}{cc}\left(1,2\right)& \left(0,3\right)\\ \left(3,0\right)& \left(2,1\right)\end{array}\right)}$

Cálculo de pares de estrategias mixtas de equilibrio.

Denominemos al par citado en el título $\left(\left(x^0,1-x^0\right),\left(y^0,1-y^0\right)\right)$, donde el par $\left(x^0,1-x^0\right)$ significa que el jugador Gobierno elige $c$ con probabilidad $x^0$ y $\neg c$ con probabilidad $1-x^0$. De análoga forma, el jugador BT elige $d$ con probabilidad $y^0$ y $\neg d$ con probabilidad $1-y^0$.

Se tiene que cumplir que:

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x 1-x\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right), \forall x\in \left[0,1\right]$

y

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 1-y\end{array}\right), \forall y\in \left[0,1\right]$

De donde

$\left\{\begin{array}{ll}{y}^0-2x^0+2\ge y^0-2x+2& \forall x\in \left[0,1\right]\\ 2x^0-y^0+1\ge 2x^0-y+1& \forall y\in \left[0,1\right]\end{array}\right.$

Es decir:

$\left\{\begin{array}{ll}-x^0\ge -x& \forall x\in \left[0,1\right]\\ -y^0\ge -y& \forall y\in \left[0,1\right]\end{array}\right.$

Luego:

$\left\{\begin{array}{ll}{x}^0\le x& \forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\le y& \forall y\in \left[0,1\right]\end{array}\right.$

Es decir: $x^0=0,y^0=0$.
Por lo tanto, el par de estrategias mixtas de equilibrio es $\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)=\left(\left(0,1\right),\left(0,1\right)\right)$, que coincide con el par de estrategias puras $\left(\neg c,\neg d\right)$.