Análisis matemático de una situación de conflicto (III)

Análisis matemático del origen de la Guerra Civil española (1936-1939).

Frente Popular.

El objetivo del FP era la transformación social mediante la Revolución de la "clase proletaria" española, constituida en vanguardia revolucionaria. Pero para ello había que suprimir (como en la Revolución Bolchevique) a los elementos "reaccionarios", "contrarrevolucionarios": principalmente el clero y la burguesía.
En consecuencia, la eliminación o exterminio de estos grupos sociales era prioritaria. Así, pues, la estrategia de eliminación ($m$) domina a la contradictoria ($\neg m$), para el FP.
Obviamente, el FP prefería la no rebelión ($\neg r$) del BN a su rebelión ($r$), porque la rebelión suponía lucha y desgaste para el FP. Luego tanto en su estrategia $m$ como en la $\neg m$, el FP prefiere $\neg r$.
Por lo tanto, la ordenación de pares de estrategias puras para el FP quedaría de la siguiente forma, según la relación de preferencia estricta $\succ$:

$\left(\neg r,m\right)\succ \left(r,m\right)\succ \left(\neg r,\neg m\right)\succ \left(r,\neg m\right)$

Bando Nacional.

En el BN se intuía que $m$ (en correspondencia con lo acontecido en la Revolución Bolchevique) era la estrategia preferida del FP. Franco se mantenía fiel a la República hasta el último momento, y el par $\left(\neg r,\neg m\right)$ era claramente dominante. Pero puesto que $m$ era muy probable, aun cuando se produjera $\neg m$ (con baja probabilidad), Franco no se podía arriesgar a encontrarse en el par $\left(\neg r,m\right)$, que para él era el menos dominante.
En consecuencia, como segunda y tercera elección quedaban los pares $\left(r,\neg m\right) y \left(r,m\right)$.

Consideraciones estratégicas respecto a la posibilidad del par $\left(r,m\right)$, aconsejaban a Franco preferir $\left(r,\neg m\right)$ a $\left(r,m\right)$ porque, en todo caso, al menos habría una respuesta defensiva en previsión de que el FP eligiese (como era muy probable por los antecedentes republicanos y el modelo bolchevique) a $m$.

Por lo tanto, la ordenación de pares de estrategias puras, para Franco, quedaba como sigue:

$\left(\neg r,\neg m\right)\succ \left(r,\neg m\right)\succ \left(r,m\right)\succ \left(\neg r,m\right)$

Asignando ahora valores numéricos (pagos parciales) a cada par de estrategias, de tal forma que sean compatibles con las ordenaciones de las mismas, se tiene:

Franco (jugador 1):

$\stackrel{2}{\left(\neg r,\neg m\right)}\succ \stackrel{1}{\left(r,\neg m\right)}\succ \stackrel{0}{\left(r,m\right)}\succ \stackrel{-1}{\left(\neg r,m\right)}$

Frente Popular (jugador 2).

$\stackrel{2}{\left(\neg r,m\right)}\succ \stackrel{1}{\left(r,m\right)}\succ \stackrel{0}{\left(\neg r,\neg m\right)}\succ \stackrel{-1}{\left(r,\neg m\right)}$

De aquí podemos obtener la bimatriz de pago (que incluye las correspondientes matrices de pago para cada jugador).

$\begin{array}{c}r\\ \neg r\end{array}\stackrel{\begin{array}{cc}m& \neg m\end{array}}{\left(\begin{array}{cc}\left(0,1\right)& \left(1,-1\right)\\ \left(-1,2\right)& \left(2,0\right)\end{array}\right)}$

Cálculo del par de estrategias (puras o mixtas) de equilibrio del juego.

Denominemos al par citado en el título $\left(\left(x^0,1-x^0\right),\left(y^0,1-y^0\right)\right)$, donde el par $\left(x^0,1-x^0\right)$ significa que el jugador Franco elige $r$ con probabilidad $x^0$ y $\neg r$ con probabilidad $1-x^0$. De análoga forma, el jugador FP elige $m$ con probabilidad $y^0$ y $\neg m$ con probabilidad $1-y^0$.

Se tiene que cumplir que:

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x 1-x\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right), \forall x\in \left[0,1\right]$

y

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 1-y\end{array}\right), \forall y\in \left[0,1\right]$

De donde

$\begin{array}{c}{x}^0\left(2y^0-1\right)\ge x\left(2y^0-1\right),\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\ge y,\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

Es decir, si $y^0\ne \frac{1}{2}$:

$\begin{array}{c}{x}^0\ge x,\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\ge y,\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

Luego :

$\begin{array}{c}{x}^0=1\\ y^0=1\\ \end{array}$


Por lo tanto, el par de estrategias mixtas de equilibrio es $\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)=\left(\left(1,0\right),\left(1,0\right)\right)$, que coincide con el par de estrategias puras $\left(r,m\right)$.

CONCLUSIÓN.- En función de los acontecimientos históricos precedentes y de la información que ambos jugadores poseían, el Alzamiento y la consiguiente extensión de la Guerra Civil constituían un punto de equilibrio matemático casi ineludible.
La Guerra Civil española, desde el punto de vista del análisis matemático realizado, no fue sino una consecuencia de la optimización racional de decisores en una situación de conflicto, en el devenir histórico humano.