Solución general del juego matricial 2x2

Juegos matriciales $2\times 2$ de suma cero.

Como los únicos juegos que vamos a emplear son los matriciales $2\times 2$, procederemos a demostrar el siguiente teorema trivial:

TEOREMA.- Sea el juego matricial de suma cero

$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$

Si no tiene punto de silla, entonces sus únicas estrategias óptimas y valor del juego vienen dados por:

$\begin{array}{c}\mathbb{x}=\frac{J{A}^{*}}{J{A}^{*}{J}^T}\\ \mathbb{y}=\frac{A^{*}{J}^T}{J{A}^{*}{J}^T}\\ v=\frac{\left|A\right|}{J{A}^{*}{J}^T}\end{array}$

Donde $A*$ es la matriz adjunta¹ de $A$; $\left|A\right|$ es el determinante de $A$; $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)$ es una matriz $1\times 2$, y $J^T=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ es la matriz traspuesta de $J$.

Demostración.-

Como el juego carece de punto de silla, las estrategias óptimas $\mathbb{x}=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right),\mathbb{y}=\left(\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\end{array}\right)$ tienen componentes positivas. Si el valor del juego es $v$, se tiene que

$a_{11}{x}_1{y}_1+a_{12}{x}_1{y}_2+a_{21}{x}_2{y}_1+a_{22}{x}_2{y}_2=v$

ó

$x_1\left(a_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2\right)+x_2\left(a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2\right)=v$

Los términos entre paréntesis del miembro izquierdo de la anterior igualdad son ambos menores o iguales que $v$, porque $\mathbb{y}$ es por hipótesis una estrategia óptima. Supongamos que uno de ellos es menor que $v$:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2<v\\ a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2\le v\\ \end{array}$

Como $\mathbb{x}$ es una estrategia mixta óptima, se cumple que $x_1,x_2>0;x_1+x_2=1$; luego el miembro izquierdo de la igualdad citada debe ser estrictamente menor que $v$. En consecuencia, ambos términos en el paréntesis de dicha igualdad son iguales a $v$:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2=v\\ a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2=v\\ \end{array}$

De forma similar, se puede demostrar que:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{21}{x}_2=v\\ a_{12}{x}_1+a_{22}{x}_2=v\\ \end{array}$

Puesto es forma matricial, nos queda:

$\begin{array}{c}A{\mathbb{y}}^T=\left(\begin{array}{c}v\\ v\end{array}\right)\\ \mathbb{x}A=\left(\begin{array}{cc}v& v\end{array}\right)\\ \end{array}$

Estas ecuaciones, junto con las dos siguientes:

$\begin{array}{c}{x}_1+x_2=1\\ y_1+y_2=1\\ \end{array}$

nos permiten resolver el sistema para $\mathbb{x},\mathbb{y},v$.

Si $A$ es no singular (tiene determinante no nulo), entonces

$\mathbb{x}=vJ{A}^{-1}$

Como $\mathbb{x}{J}^T=1$ (suma de las componentes de $\mathbb{x}$), se tiene que

$1=\mathbb{x}{J}^T=vJ{A}^{-1}{J}^T$

o bien

$v=\frac{1}{J{A}^{-1}{J}^T}$

y

$\mathbb{x}=\frac{J{A}^{-1}}{J{A}^{-1}{J}^T}$

De manera similar, se obtiene:

$\mathbb{y}=\frac{A^{-1}{J}^T}{J{A}^{-1}{J}^T}$

Si $A$ es singular, se demuestra fácilmente que

$\begin{array}{c}\mathbb{x}=\frac{J{A}^{*}}{J{A}^{*}{J}^T}\\ \mathbb{y}=\frac{A^{*}{J}^T}{J{A}^{*}{J}^T}\\ \end{array}$

son estrategias óptimas. También se tiene que

$\begin{array}{c}v=\frac{\left|A\right|}{J{A}^{*}{J}^T}\end{array}$

sea $A$ singular o no. Q.E.D.

EJEMPLOS.-

1. El juego cuya matriz de pagos (o utilidades) es

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

carece de punto de silla, pues $\underset{i}{máx} \underset{j}{mín} a_{ij}=0\ne 1=\underset{j}{mín} \underset{i}{máx} a_{ij}$. Sin embargo,

$\begin{array}{c}\mathbb{x}=\frac{\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\\ \mathbb{y}=\frac{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\\ v=\frac{1}{2}\end{array}$

como es sencillo calcular.

2. El juego matricial

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$

carece de punto de silla, pues $\underset{i}{max} \underset{j}{min} a_{ij}=0\ne 1=\underset{j}{min} \underset{i}{max} a_{ij}$.

Siendo la matriz adjunta de $A$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

y $\left|A\right|=2, J{A}^{*}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\end{array}\right);A^{*}{J}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 2\end{array}\right), J{A}^{*}{J}^T=4$, se tiene que: $\begin{array}{c}\mathbb{x}=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right)\\ \mathbb{y}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\\ v=\frac{1}{2}\end{array}$

son los pares de estrategias mixtas óptimas y el valor del juego, respectivamente.

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¹ Sea

$A={\left(a_{ij}\right)}_{\begin{array}{c}i=1,\dots ,n\\ j=1,\dots n\\ \end{array}}$ una matriz cuadrada de orden $n$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$.
Se llama menor complementario de un elemento $a_{\begin{array}{c}{i}_0{j}_0\end{array}}$ de la matriz $A$ al determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo la fila $i_0$ y la columna $j_0$ de la matriz $A$, sin alterar el orden de las restantes.
Al menor complementario del elemento $a_{\begin{array}{c}{i}_0{j}_0\end{array}}$ de la matriz $A$, lo denotaremos por ${\alpha }_{i_0{j}_0}$.

Se llama adjunto de un elemento $a_{\begin{array}{c}{i}_0{j}_0\end{array}}$ de la matriz $A$, al producto:

$A_{i_0{j}_0}={\left(-1\right)}^{i_0+j_0}{\alpha }_{i_0{j}_0}$

A la matriz $A^{*}={\left(A_{ij}\right)}_{i,j=1,\dots ,n}$ se le llama matriz adjunta de la matriz $A$.

Se demuestra en Álgebra Lineal que para toda matriz $A=\left(a_{ij}\right)\in {\mathfrak{M}}_n\left(\mathbb{K}\right)$, se cumple:

$\text{det}\left(A\right)=\left|A\right|=a_{i1}{A}_{i1}+\cdots +a_{in}{A}_{in};i=1,2,\dots ,n$