Análisis matemático de una situación de conflicto (V)

El Dilema del Prisionero.

Dos hombres se encuentran en prisión, cumpliendo sentencia por delitos previos, y en celdas separadas e incomunicadas.
Se sospecha que, además, los dos hombres fueron autores de otro delito sin esclarecer, aunque no hay evidencias suficientes para condenarlos.
El juez correspondiente, habla por separado con cada recluso, dándole la oportunidad de confesar y ofrecer evidencias sobre la participación del otro.
Se le promete a cada uno que, si confiesa y el otro no confiesa, el que confiese tendrá un año de reducción de su actual condena, y el otro recluso que no confiesa un incremento de su condena en 9 años.
Si ambos confiesan, cada uno tendrá 4 años más de condena y, sin ninguno confiesa, ambos tendrán un año más de condena.

La bimatriz de pagos del juego será, en virtud de lo antexpuesto, la siguiente:

$\begin{array}{c}{C}_2& \neg C_2\\ C_1& \left(-4,-4\right)& \left(1,-9\right)\\ \neg C_1& \left(-9,1\right)& \left(-1,-1\right)\end{array}$

Donde $C_i,i=1,2$ son las estrategias puras de confesar de cada jugador, y $\neg C_i,i=1,2$ las correspondientes de no confesar de cada jugador.

La estrategia pura $C_1$ domina a la $\neg C_1$, claramente, pues se satisface la siguiente relación entre (de orden producto) entre los vectores de pagos correspondientes a cada estrategia: $\left(-4,1\right)\succ \left(-9,-1\right)$.
A su vez, la estrategia pura $C_2$ domina a la $\neg C_2$, pues $\left(-4,1\right)\succ \left(-9,-1\right)$.

Luego desde el punto de vista de la racionalidad individual, ambos jugadores deberían confesar. Por lo tanto, $\left(C_1,C_2\right)$ es el único punto de equilibrio.
En efecto. Como debe verificarse

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ -9& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x 1-x\right)\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ -9& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right),\forall x\in \left[0,1\right]$

y

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}-4& -9\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}-4& -9\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 1-y\end{array}\right),\forall y\in \left[0,1\right]$

Entonces:

$\begin{array}{c}{x}^0\left(2-3y^0\right)\ge x\left(2-3y^0\right),\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\left(2-3x^0\right)\ge y\left(2-3x^0\right),\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

Y si $y^0\ne \frac{2}{3},x^0\ne \frac{2}{3}$, entonces:

$\begin{array}{c}{x}^0\ge x,\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\ge y,\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

En consecuencia: $x^0=1,y^0=1$.

Sin embargo, desde el punto de vista de la racionalidad colectiva, $\left(-1,-1\right)\succ \left(-4,-4\right)$; es decir, el vector de pagos correspondiente al par de estrategias puras $\left(\neg C_1,\neg C_2\right)$ es preferido al vector de pago del par de estrategias puras $\left(C_1,C_2\right)$. Pero como cada jugador desconoce lo que el otro va a hacer, e incluso si se lo hubiera comunicado podría engañarle, el dilema radica en si ambos jugadores han de conducirse por racionalidad individual o colectiva. Es evidente que si los dos se ponen de acuerdo (comunicándose de alguna manera) sobre no confesar, y cada uno respeta su compromiso, ambos quedan más favorecidos que aplicando el par de estrategias de equilibrio (los dos confiesan).

Por las razones indicadas, el papel de los equilibrios de Nash en la teoría de juegos de suma no nula no cooperativos, es controvertido.

Análisis matemático de una situación de conflicto (IV)

Conflicto Banda Terrorista (BT)-Gobierno(G).

Nos restringiremos ahora al caso de terrorismo político, no yihadista.
La prolongada duración de este tipo de conflictos es consecuencia de que ambos jugadores se encuentran en un par de estrategias puras de equilibrio, en las condiciones correspondientes. Analizaremos este conflicto en el restringido caso del juego bipersonal de suma no nula no cooperativo, y con el conocimiento de que la resolución óptima del mismo debe hacer uso de la teoría de los juegos de suma no nula cooperativos (y extensiones de la misma), como sucede al final de los casos prácticos, que se materializan en determinadas "concesiones menores" a la BT, producto de "negociaciones".

Los jugadores son dos: Gobierno (Jugador 1) y Banda Terrorista (Jugador 2), con los espacios de estrategias puras, respectivamente: $X_1=\left\{c,\neg c\right\},X_2=\left\{d,\neg d\right\}$, donde $c y \neg c$ son, respectivamente, las estrategias puras del Gobierno "Cede a las pretensiones de la BT" y "No cede a las pretensiones de la BT". De la misma forma, las estrategias puras de la BT son $d y \neg d$: "La BT se desarma", "La BT no se desarma".

Ordenación de los pares de estrategias puras.

Gobierno. Para el Gobierno, obviamente, la estrategia de no ceder es la dominante. Es obvio, además, que se prefiere, no cediendo, que la BT se dasarmase a que no se desarme. Considerando la cesión, es evidente que se prefiere el desarme al no desarme. Por lo tanto, los pares de estrategias puras quedan de esta forma ordenados (y definida la función de pago o utilidad reportada) para el Gobierno:

$\stackrel{3}{\left(\neg c,d\right)}\succ \stackrel{2}{\left(\neg c,\neg d\right)}\succ \stackrel{1}{\left(c,d\right)}\succ \stackrel{0}{\left(c,\neg d\right)}$

Banda Terrorista. Es evidente que la pretensión de una BT es que el Gobierno ceda, dominando esta estrategia para ella. Dentro de la misma, se prefiere, por razones obvias, el no desarme al desarme. En cuanto a la posibilidad de que no ceda el Gobierno, claramente impera el no desarme sobre el desarme. En consecuencia, la ordenación (y asignación de pagos) de los pares de estrategias puras, queda para la BT, así:

$\stackrel{3}{\left(c,\neg d\right)}\succ \stackrel{2}{\left(c,d\right)}\succ \stackrel{1}{\left(\neg c,\neg d\right)}\succ \stackrel{0}{\left(\neg c,d\right)}$

Con los datos anteriores podemos construir la bimatriz de pagos:

$G\begin{array}{c}c\\ \neg c\end{array}\stackrel{\stackrel{BT}{\begin{array}{cc}d& \neg d\end{array}}}{\left(\begin{array}{cc}\left(1,2\right)& \left(0,3\right)\\ \left(3,0\right)& \left(2,1\right)\end{array}\right)}$

Cálculo de pares de estrategias mixtas de equilibrio.

Denominemos al par citado en el título $\left(\left(x^0,1-x^0\right),\left(y^0,1-y^0\right)\right)$, donde el par $\left(x^0,1-x^0\right)$ significa que el jugador Gobierno elige $c$ con probabilidad $x^0$ y $\neg c$ con probabilidad $1-x^0$. De análoga forma, el jugador BT elige $d$ con probabilidad $y^0$ y $\neg d$ con probabilidad $1-y^0$.

Se tiene que cumplir que:

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x 1-x\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right), \forall x\in \left[0,1\right]$

y

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 1-y\end{array}\right), \forall y\in \left[0,1\right]$

De donde

$\left\{\begin{array}{ll}{y}^0-2x^0+2\ge y^0-2x+2& \forall x\in \left[0,1\right]\\ 2x^0-y^0+1\ge 2x^0-y+1& \forall y\in \left[0,1\right]\end{array}\right.$

Es decir:

$\left\{\begin{array}{ll}-x^0\ge -x& \forall x\in \left[0,1\right]\\ -y^0\ge -y& \forall y\in \left[0,1\right]\end{array}\right.$

Luego:

$\left\{\begin{array}{ll}{x}^0\le x& \forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\le y& \forall y\in \left[0,1\right]\end{array}\right.$

Es decir: $x^0=0,y^0=0$.
Por lo tanto, el par de estrategias mixtas de equilibrio es $\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)=\left(\left(0,1\right),\left(0,1\right)\right)$, que coincide con el par de estrategias puras $\left(\neg c,\neg d\right)$.

Análisis matemático de una situación de conflicto (III)

Análisis matemático del origen de la Guerra Civil española (1936-1939).

Frente Popular.

El objetivo del FP era la transformación social mediante la Revolución de la "clase proletaria" española, constituida en vanguardia revolucionaria. Pero para ello había que suprimir (como en la Revolución Bolchevique) a los elementos "reaccionarios", "contrarrevolucionarios": principalmente el clero y la burguesía.
En consecuencia, la eliminación o exterminio de estos grupos sociales era prioritaria. Así, pues, la estrategia de eliminación ($m$) domina a la contradictoria ($\neg m$), para el FP.
Obviamente, el FP prefería la no rebelión ($\neg r$) del BN a su rebelión ($r$), porque la rebelión suponía lucha y desgaste para el FP. Luego tanto en su estrategia $m$ como en la $\neg m$, el FP prefiere $\neg r$.
Por lo tanto, la ordenación de pares de estrategias puras para el FP quedaría de la siguiente forma, según la relación de preferencia estricta $\succ$:

$\left(\neg r,m\right)\succ \left(r,m\right)\succ \left(\neg r,\neg m\right)\succ \left(r,\neg m\right)$

Bando Nacional.

En el BN se intuía que $m$ (en correspondencia con lo acontecido en la Revolución Bolchevique) era la estrategia preferida del FP. Franco se mantenía fiel a la República hasta el último momento, y el par $\left(\neg r,\neg m\right)$ era claramente dominante. Pero puesto que $m$ era muy probable, aun cuando se produjera $\neg m$ (con baja probabilidad), Franco no se podía arriesgar a encontrarse en el par $\left(\neg r,m\right)$, que para él era el menos dominante.
En consecuencia, como segunda y tercera elección quedaban los pares $\left(r,\neg m\right) y \left(r,m\right)$.

Consideraciones estratégicas respecto a la posibilidad del par $\left(r,m\right)$, aconsejaban a Franco preferir $\left(r,\neg m\right)$ a $\left(r,m\right)$ porque, en todo caso, al menos habría una respuesta defensiva en previsión de que el FP eligiese (como era muy probable por los antecedentes republicanos y el modelo bolchevique) a $m$.

Por lo tanto, la ordenación de pares de estrategias puras, para Franco, quedaba como sigue:

$\left(\neg r,\neg m\right)\succ \left(r,\neg m\right)\succ \left(r,m\right)\succ \left(\neg r,m\right)$

Asignando ahora valores numéricos (pagos parciales) a cada par de estrategias, de tal forma que sean compatibles con las ordenaciones de las mismas, se tiene:

Franco (jugador 1):

$\stackrel{2}{\left(\neg r,\neg m\right)}\succ \stackrel{1}{\left(r,\neg m\right)}\succ \stackrel{0}{\left(r,m\right)}\succ \stackrel{-1}{\left(\neg r,m\right)}$

Frente Popular (jugador 2).

$\stackrel{2}{\left(\neg r,m\right)}\succ \stackrel{1}{\left(r,m\right)}\succ \stackrel{0}{\left(\neg r,\neg m\right)}\succ \stackrel{-1}{\left(r,\neg m\right)}$

De aquí podemos obtener la bimatriz de pago (que incluye las correspondientes matrices de pago para cada jugador).

$\begin{array}{c}r\\ \neg r\end{array}\stackrel{\begin{array}{cc}m& \neg m\end{array}}{\left(\begin{array}{cc}\left(0,1\right)& \left(1,-1\right)\\ \left(-1,2\right)& \left(2,0\right)\end{array}\right)}$

Cálculo del par de estrategias (puras o mixtas) de equilibrio del juego.

Denominemos al par citado en el título $\left(\left(x^0,1-x^0\right),\left(y^0,1-y^0\right)\right)$, donde el par $\left(x^0,1-x^0\right)$ significa que el jugador Franco elige $r$ con probabilidad $x^0$ y $\neg r$ con probabilidad $1-x^0$. De análoga forma, el jugador FP elige $m$ con probabilidad $y^0$ y $\neg m$ con probabilidad $1-y^0$.

Se tiene que cumplir que:

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x 1-x\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right), \forall x\in \left[0,1\right]$

y

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 1-y\end{array}\right), \forall y\in \left[0,1\right]$

De donde

$\begin{array}{c}{x}^0\left(2y^0-1\right)\ge x\left(2y^0-1\right),\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\ge y,\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

Es decir, si $y^0\ne \frac{1}{2}$:

$\begin{array}{c}{x}^0\ge x,\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\ge y,\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

Luego :

$\begin{array}{c}{x}^0=1\\ y^0=1\\ \end{array}$


Por lo tanto, el par de estrategias mixtas de equilibrio es $\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)=\left(\left(1,0\right),\left(1,0\right)\right)$, que coincide con el par de estrategias puras $\left(r,m\right)$.

CONCLUSIÓN.- En función de los acontecimientos históricos precedentes y de la información que ambos jugadores poseían, el Alzamiento y la consiguiente extensión de la Guerra Civil constituían un punto de equilibrio matemático casi ineludible.
La Guerra Civil española, desde el punto de vista del análisis matemático realizado, no fue sino una consecuencia de la optimización racional de decisores en una situación de conflicto, en el devenir histórico humano.