Análisis matemático de una situación de conflicto (II)

Juegos bipersonales de suma no nula no cooperativos.

Sean $1 y 2$ dos jugadores cuyos conjuntos de estrategias puras son, respectivamente:

$A=\left\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right\},B=\left\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m\right\}$

Si $1$ escoge ${\alpha }_i$ y $2$ escoge ${\beta }_j$, se obtiene el resultado $\left(a_{ij},b_{ij}\right)$, siendo $a_{ij}$ la utilidad reportada para el jugador $1$ y $b_{ij}$ la utilidad reportada para el jugador $2$, con $a_{ij}\ne b_{ij}$, en general.

Las estrategias mixtas¹ de $1$ se denotan por $\mathbb{x}=\left(x_1,\dots ,x_n\right)$, y las de $2$ por $\mathbb{y}=\left(y_1,\dots ,y_m\right)$, siendo $\sum _{i=1}^n{x}_i=1,x_i\ge 0; \sum _{j=1}^m{y}_j=1,y_j\ge 0$.

$M_1\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right),M_2\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right)$ son, respectivamente, las utilidades reportadas a $1 y 2$, si cada uno de ellos emplean sus estategias mixtas $\mathbb{x},\mathbb{y}$, respectivamente. Las funciones $M_1,M_2$ se obtienen de la bimatriz ${\left[\left(a_{ij},b_{ij}\right)\right]}_{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\\ \end{array}}$, tomando esperanzas matemáticas:

$\begin{array}{c}{M}_1\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right)=\mathbb{x}A{\mathbb{y}}^t\\ M_2\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right)=\mathbb{x}B{\mathbb{y}}^t\end{array}$

siendo $\mathbb{x}=\left(x_1,\dots ,x_n\right)$ un vector fila $n$-dimensional (matriz $1\times n$), y

${\mathbb{x}}^t=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

el respectivo vector columna $n$-dimensional (matriz $n\times 1$). Análogamente respecto de $\mathbb{y}$.

DEFINICIÓN.- Un par de estrategias mixtas $\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)$ (donde los superíndices no son exponentes) se dicen de equilibrio, si se cumple:

$\left\{\begin{array}{ll}{M}_1\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_1\left(\mathbb{x},{\mathbb{y}}^0\right)& \forall \mathbb{x}\in X\\ M_2\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_2\left({\mathbb{x}}^0,\mathbb{y}\right)& \forall \mathbb{y}\in Y\end{array}\right.$

Entonces se verifica el siguiente importante (e histórico)

TEOREMA (John Nash).- Sean $A={\left(a_{ij}\right)}_{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\\ \end{array}},B={\left(b_{ij}\right)}_{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\\ \end{array}}$ dos matrices de pago para los jugadores $1 y 2$, respectivamente, en un juego de suma no nula no cooperativo. Entonces existen estrategias mixtas

${\mathbb{x}}^0=\left(x_1^0,\dots ,x_n^0\right),{\mathbb{y}}^0=\left(y_1^0,\dots ,y_m^0\right)$

que verifican:

$\left\{\begin{array}{ll}{M}_1\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_1\left(\mathbb{x},{\mathbb{y}}^0\right)& \forall \mathbb{x}\in X\\ M_2\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_2\left({\mathbb{x}}^0,\mathbb{y}\right)& \forall \mathbb{y}\in Y\end{array}\right.$

Siendo $X,Y$ los conjuntos de estrategias mixtas de $1,2$, respectivamente.

_____________________________________________________________

¹ Una estrategia mixta $\left(x_1,\dots ,x_n\right)$ para el jugador $1$ significa que el jugador $1$ elige su estrategia pura ${\alpha }_i$ con probabilidad $x_i \left(1\le i\le n\right)$. Y de forma análoga para el jugador $2$.