Modelo matemático elemental sobre la estrategia de desarme nuclear.

Supongamos, como en los casos anteriores, el modelo de juego bipersonal de suma no nula no cooperativo, en el que ambos jugadores son potencias nucleares.

(A) Análisis y ordenación de las estrategias puras.

Supondremos, por simplicidad, simetría perfecta en el análisis y ordenación de las estrategias puras de cada jugador, con lo que bastará analizar y ordenar las de uno de ellos para, por analogía, analizar y ordenar las del otro.

Consideremos al jugador 1. Es razonable suponer (por razones de prioridad defensiva y poder disuasorio militar) que la estrategia de no desarme prevalece o domina sobre la de desarme y que, independientemente del desarme o no del otro jugador, es preferible siempre el no desarme propio al desarme. La ordenación de pares de estrategias de ambos jugadores quedaría, pues para el primer jugador, cuyas estrategias puras son las del conjunto binario $\left\{\neg d,d\right\}$ (las correspondientes del jugador 2 se denotan por los elementos del conjunto binario $\left\{\neg d\text{'},d\text{'}\right\}$):

$\stackrel{2}{\left(\neg d,d\text{'}\right)}\succ \stackrel{1}{\left(\neg d,\neg d\text{'}\right)}\succ \stackrel{0}{\left(d,d\text{'}\right)}\succ \stackrel{-1}{\left(d,\neg d\text{'}\right)}$

Para el jugador 2, quedarán:

$\stackrel{2}{\left(\neg d\text{'},d\right)}\succ \stackrel{1}{\left(\neg d\text{'},\neg d\right)}\succ \stackrel{0}{\left(d\text{'},d\right)}\succ \stackrel{-1}{\left(d\text{'},\neg d\right)}$

La bimatriz de pagos será la siguiente:

$\begin{array}{c}d\\ \neg d\end{array}\stackrel{\begin{array}{cc}d\text{'}& \neg d\text{'}\end{array}}{\left(\begin{array}{cc}\left(0,0\right)& \left(-1,2\right)\\ \left(2,-1\right)& \left(1,1\right)\end{array}\right)}$

(B) Cálculo del par de estrategias mixtas de equilibrio del juego.

Puesto que las matrices de pago de cada jugador son, respectivamente

$A=\stackrel{}{\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 1\end{array}\right)},B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$

si denotamos ${\mathbb{x}}^0=\left(x^0,1-x^0\right), {\mathbb{y}}^0=\left(y^0,1-y^0\right)$ los pares de estrategias mixtas de equilibro para, respectivamente, el jugador 1 y el jugador 2, se tiene el sistema de inecuaciones:

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x 1-x\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right), \forall x\in \left[0,1\right]$

y

$\left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}^0\\ 1-y^0\end{array}\right)\ge \left(x^0 1-x^0\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ 1-y\end{array}\right), \forall y\in \left[0,1\right]$

Operando matricialmente y simplificando, nos quedaría el sistema:

$\begin{array}{c}{x}^0\le x,\forall x\in \left[0,1\right]\\ y^0\le y,\forall y\in \left[0,1\right]\\ \end{array}$

Luego el par de estrategias mixtas de equilibrio será:

$\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)=\left(\left(x^0,1-x^0\right),\left(y^0,1-y^0\right)\right)=\left(\left(0,1\right),\left(0,1\right)\right)$

El cual corresponde al par de estrategias puras (una para cada jugador): $\left(\neg d,\neg d\text{'}\right)$.

Del simple análisis de la bimatriz de pagos, esto era de esperar.