Análisis matemático de una situación de conflicto (II)

Juegos bipersonales de suma no nula no cooperativos.

Sean $1 y 2$ dos jugadores cuyos conjuntos de estrategias puras son, respectivamente:

$A=\left\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right\},B=\left\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m\right\}$

Si $1$ escoge ${\alpha }_i$ y $2$ escoge ${\beta }_j$, se obtiene el resultado $\left(a_{ij},b_{ij}\right)$, siendo $a_{ij}$ la utilidad reportada para el jugador $1$ y $b_{ij}$ la utilidad reportada para el jugador $2$, con $a_{ij}\ne b_{ij}$, en general.

Las estrategias mixtas¹ de $1$ se denotan por $\mathbb{x}=\left(x_1,\dots ,x_n\right)$, y las de $2$ por $\mathbb{y}=\left(y_1,\dots ,y_m\right)$, siendo $\sum _{i=1}^n{x}_i=1,x_i\ge 0; \sum _{j=1}^m{y}_j=1,y_j\ge 0$.

$M_1\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right),M_2\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right)$ son, respectivamente, las utilidades reportadas a $1 y 2$, si cada uno de ellos emplean sus estategias mixtas $\mathbb{x},\mathbb{y}$, respectivamente. Las funciones $M_1,M_2$ se obtienen de la bimatriz ${\left[\left(a_{ij},b_{ij}\right)\right]}_{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\\ \end{array}}$, tomando esperanzas matemáticas:

$\begin{array}{c}{M}_1\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right)=\mathbb{x}A{\mathbb{y}}^t\\ M_2\left(\mathbb{x},\mathbb{y}\right)=\mathbb{x}B{\mathbb{y}}^t\end{array}$

siendo $\mathbb{x}=\left(x_1,\dots ,x_n\right)$ un vector fila $n$-dimensional (matriz $1\times n$), y

${\mathbb{x}}^t=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

el respectivo vector columna $n$-dimensional (matriz $n\times 1$). Análogamente respecto de $\mathbb{y}$.

DEFINICIÓN.- Un par de estrategias mixtas $\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)$ (donde los superíndices no son exponentes) se dicen de equilibrio, si se cumple:

$\left\{\begin{array}{ll}{M}_1\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_1\left(\mathbb{x},{\mathbb{y}}^0\right)& \forall \mathbb{x}\in X\\ M_2\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_2\left({\mathbb{x}}^0,\mathbb{y}\right)& \forall \mathbb{y}\in Y\end{array}\right.$

Entonces se verifica el siguiente importante (e histórico)

TEOREMA (John Nash).- Sean $A={\left(a_{ij}\right)}_{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\\ \end{array}},B={\left(b_{ij}\right)}_{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\\ \end{array}}$ dos matrices de pago para los jugadores $1 y 2$, respectivamente, en un juego de suma no nula no cooperativo. Entonces existen estrategias mixtas

${\mathbb{x}}^0=\left(x_1^0,\dots ,x_n^0\right),{\mathbb{y}}^0=\left(y_1^0,\dots ,y_m^0\right)$

que verifican:

$\left\{\begin{array}{ll}{M}_1\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_1\left(\mathbb{x},{\mathbb{y}}^0\right)& \forall \mathbb{x}\in X\\ M_2\left({\mathbb{x}}^0,{\mathbb{y}}^0\right)\ge M_2\left({\mathbb{x}}^0,\mathbb{y}\right)& \forall \mathbb{y}\in Y\end{array}\right.$

Siendo $X,Y$ los conjuntos de estrategias mixtas de $1,2$, respectivamente.

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¹ Una estrategia mixta $\left(x_1,\dots ,x_n\right)$ para el jugador $1$ significa que el jugador $1$ elige su estrategia pura ${\alpha }_i$ con probabilidad $x_i \left(1\le i\le n\right)$. Y de forma análoga para el jugador $2$.

Análisis matemático de una situación de conflicto (I)

La Teoría de los Juegos es la rama de la Matemática Aplicada adecuada para trazar modelos matemáticos de situaciones de conflicto reales: guerras convencionales, conflictos terroristas, control de armas nucleares, etc.
Primero vamos a esbozar una breve introducción (muy restringida y resumida, sin pretensiones de completitud) de la Teoría de Juegos, y luego analizaremos algunos ejemplos históricos.

DEFINICIÓN 1.- Un juego bipersonal en forma normal es una estructura formada por dos conjuntos no vacíos: $X_1,X_2$, llamados, respectivamente, espacios de estrategias puras de los jugadores $1,2$ o $J_1,J_2$, y dos funciones reales (acotadas): $M_1,M_2$, definidas ambas sobre el conjunto producto cartesiano $X_1\times X_2$, que representan el pago a cada uno de los jugadores.

Si $J_1$ elige la estrategia pura $x_1\in X_1$ y $J_2$ elige la estrategia pura $x_2\in X_2$, entonces $J_1$ recibe el pago $M_1\left(x_1,x_2\right)$ y $J_2$ recibe el pago $M_2\left(x_1,x_2\right)$.
Si $M_1\left(x_1,x_2\right)=-M_2\left(x_1,x_2\right)$, entonces el juego es de suma nula o cero.

Sea una representación $G=\left(X,Y;M_1,M_2\right)$ para un juego bipersonal, donde $X,Y$ son los espacios de estrategias puras de los jugadores, respectivamente, $J_1,J_2$, y $M_1,M_2:X\times Y\to \mathrm{ℝ}$ las funciones de pago a cada uno de los jugadores. Cuando el juego es bipersonal de suma cero, se representa mediante la terna $G=\left(X,Y;M\right)$, siendo $M$ la función de pago a $J_1$ y $-M$ la función de pago a $J_2$.

Entonces se tiene el siguiente

TEOREMA 1.- Si la función de pago de $G$ posee un punto de silla¹, entonces $G$ está determinado estrictamente, y el valor del juego es $V_G=M\left(x_0,y_0\right)$, siendo $x_0$ una estrategia óptima de $J_1$ y $y_0$ una estrategia óptima de $J_2$.

Por simplicidad, nos restringiremos a juegos matriciales finitos bipersonales, es decir, juegos en los que los conjuntos de estrategias puras $X,Y$ verifican: $\text{card}\left(X\right)=\text{card}\left(Y\right)=2$.

En forma matricial, el juego $G=(X,Y;M)$ se representa así:

$\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\stackrel{\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\end{array}}{\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right)}$

donde $m_{ij}=M\left(x_i,y_j\right)$.

EJEMPLO.- El juego matricial:

$\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\stackrel{\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\end{array}}{\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)}$

tiene, como es sencillo comprobar, el punto de silla $\left(x_1,y_1\right)$, y el valor del juego es 1. En efecto, eligiendo el primer jugador la estrategia pura $x_1$ se asegura un pago de, al menos, $1$; mientras que si eligiese $x_2$, no podría asegurar más que $0$, pues el segundo jugador elegirá, según la estrategia presumiblemente elegida por el primero, aquella de las del segundo que haga mínimo el pago al primero. Por lo tanto, el par de estrategias puras $\left(x_1,y_1\right)$ es un punto de silla (punto de equilibrio) del juego bipersonal, dado que ninguno de los jugadores mejora su pago (pérdida, en el caso del segundo jugador) eligiendo otro par de estrategias puras.

Como es fácil demostrar, para que exista en un juego bipersonal (matricial) de suma nula un punto de silla, es necesario y suficiente que se verifique la igualdad:

$m_{i_0{j}_0}=\underset{j}{ \text{mín} }\underset{i}{\text{máx}} m_{ij}=\underset{i}{\text{máx}}\underset{j}{\text{mín}}{m}_{ij}$

Sin embargo, el luego matricial:

$\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\stackrel{\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\end{array}}{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

no posee un punto de silla, y por lo tanto no admite un par de estrategias puras de equilibrio. Ha de ser resuelto en estrategias mixtas, como después veremos, aleatorizando los conjuntos de estrategias puras.

CASO HISTÓRICO.- En el curso de la II Guerra Mundial (O.G. Haywood. Military Decisions and Game Theory), en febrero de 1943, el general G.C. Kenney, comandante en jefe de las fuerzas aliadas en el sudoeste del pacífico, se enfrentaba con un problema. Los japoneses iban a reforzar su ejército en Nueva Guinea y tenía una elección entre dos itinerarios alternativos. Podrían zarpar, bien al norte de Nueva Bretaña, donde el tiempo era lluvioso, o al sur de Nueva Bretaña, donde el tiempo era generalmente bueno. En cualquier caso, el viaje supondría tres días. El general Kenney tenía que decidir dónde concentrar el grueso de su fuerza aérea de reconocimiento. Los japoneses querían que sus barcos estuviesen lo menos expuestos posible a los bombardeos del enemigo y, por supuesto, el general Kenney pretendía lo contrario. En la siguiente figura se representa el juego en forma normal que modeliza esta situación militar; los datos de la matriz representan el número de días supuestos de exposición al bombardeo.

$Elección aliada\begin{array}{c}Norte\\ Sur\end{array}\stackrel{\begin{array}{cc}& \stackrel{Elección japonesa}{Norte Sur} \end{array}}{\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 3\end{array}\right)}$

Obsérvese que, para los aliados, la estrategia "Norte" dominaba sobre la "Sur", dado que se aseguraban 2 días de bombardeos sobre el enemigo japonés. Pero también dicha estrategia dominaba para los japoneses, dado que si elegían la "Sur", podrían estar expuestos a 3 días de bombardeo caso de que los aliados, en consecuencia, escogieran la "Sur", puesto que estos pretendendían maximizar el número de días de bombardeo, mientras que los japoneses deseaban minimizarlo.
En consecuencia, el par de estrategias puras $\left(Norte,Norte\right)$ es la solución de equilibrio del juego.

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¹Es decir, un $\left(x_0,y_0\right)\in X\times Y$, tal que $\forall x\in X\forall y\in Y\left(M\left(x,y_0\right)\le M\left(x_0,y_0\right)\le M\left(x_0,y\right)\right)$.